Finanzmathematik Folien 1

Inhaltsverzeichnis
III Stochastische Di􏰀erentialgleichungen 1 1 StarkeLösbarkeit.................................. 1
I Modelle für Aktienmärkte 14
1 Modellbeschreibung ................................ 15 1.1 EinSemimartingalmodell ........................ 15 1.2 Beispiele................................... 19 1.3 Handel.................................... 21 1.4 Arbitrage.................................. 24
2 BewertenvonDerivaten.............................. 32
2.11 PDEAnsatz ................................ 40
2.12 PDEAnsatzbeiBarriereOptionen .................. 42
2.13 SharpeRatio................................ 44
2.14 Konstruktion eines Geldmarktkontos im mehrdimensionalen, voll- ständigenFall ............................... 45
3 Volatilitätsmodelle................................. 47
3.1 KalibrierungeinesBlack-ScholesModells . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Kalibrierung eines Black-Scholes Modells mit deterministischer Vo- latilität ................................... 49
3.3 Kalibrierung eines lokalen Volatilitätsmodells . . . . . . . . . .
3.4 Das allgemeine stochastische Volatilitätsmodell für eine Aktie
3.8 Lösbarkeit des stochastischen Volatilitätsmodells . . . . . . . .
3.9 BeispielefürVolatilitätsmodelle...................
3.10 CIRProzess ................................ 54
3.12 LaplacetransformiertedesCIRProzesses . . . . . . . . . . . . . . . 57
II Bondmarktmodelle 76
1 ShortrateModelle................................. 76
1.1 AllgemeineAnnahmen .......................... 76
1.2 Konstruktion eines arbitragefreien Marktes . . . . . . . . . . . . . . 77
1.3 ShortrateModelle ............................ 81
1.4 BeispielefürshortrateModelle..................... 83
1.5 BewertunginshortrateModellen ................... 85
1.8 BerechnungdesCallpreises ....................... 87
1.9 BerechnungvonCapletpreisen ..................... 90
1.10 Caplets,Caps,FloorletsundFloors .................. 93
1.11 Swaps.................................... 94
BewertungvonSwaps............................... 94 1.12 Swaption .................................. 97 BewertungeinerSwaption ............................ 97
2 LiborMarktmodell................................. 98 2.1 AufbaudesModells............................ 98
.. 49 .. 51 .. 52 .. 53
2.2 TerminalMeasure............................. 100
2.3 DaslognormaleLibormarktmodell ................... 102
2.4 Bewertung von Caplets im lognormalen Libormarktmodell . . . . 103
2.5 WeitereLibormarktmodelle ....................... 104

Übersicht:
1. Aktienmodelle
⋅ Allgemeines von einem Wiener-Prozess getriebenes Semimartingalmodell - Aufstellung des Modells
- Bestimmung der äquivalenten Martingalmaÿe
- Bewertung von Derivaten
- Bestimmung von Replikationsstrategien
⋅ Spezielle Modelle
- Stochastische Volatilitätsmodelle (z.B. Heston-Modell)
2. Rentenmärkte
⋅ Informelle Einführung (z.B. Bonds, Floor, Swap)
⋅ Shortrate Modelle/Zinsstrukturmodelle - Vasicek-Modelle
- CIR-Modelle
⋅ Libor Markt Modelle